К истории вопроса

История взаимоотношений математики и экономики — пример качественного развития принципа междисциплинарности научного знания. Корни математики вырастают из единства повседневных потребностей человека и его склонности к познанию мира в целом; математика из практической калькуляции для целей земледелия и торговли становится высокоабстрактной наукой, но не теряет связи с практикой. Как показала история, одной из актуальных целей является определение границ и возможностей для взаимодействия экономики и математики. На наш взгляд, первым, кто предпринял усилия, чтобы решить данную проблему, был Ф. Кенэ, который «построил и опубликовал свои экономические таблицы. Это была первая попытка количественного описания процесса воспроизводства общественного продукта как единого целого» [1, 91]. Вслед за Ф. Кенэ математические модели в экономике использовали А. Смит, Д. Рикардо, К. Маркс и др. В 1838 г. возникла математическая школа в рамках политической экономии. Математика использовалась для анализа механизма функционирования рынка (теория рыночного равновесия) (см. [1, 92]). В конце того же века в Гарварде появился Гарвардский барометр — школа, разрабатывавшая «эконометрические модели для прогнозирования промышленных циклов» [1, 92].

 Взаимоотношения экономики и математики сложны и противоречивы и включают в себя как подходы предметного разграничения и противопоставления, как это было в исторической школе, так и подходы, предполагающие синтез и слияния данных наук. Так, представитель маржинализма Л. Вальрас отождествлял политическую экономию с физико-математическими науками, которые на основе аксиом строят конструкции своих теорем, затем их доказывают, а к опытным данным обращаются не для того, чтобы обосновать исходные постулаты, а с целью демонстрации истинности своих выводов. У П. Самуэльсона математические модели становятся главным средством экономического анализа, а в качестве критерия их научности предлагается логическая строгость выводов. Движение экономической теории в сторону формализации усиливалось процессами в самой математике, которые способствовали тому, что модель общего равновесия в экономике стала восприниматься как формальная математическая конструкция, ценность которой не зависит от эмпирической проверки. Эта особенность стала распространяться и на другие разделы экономической теории, что еще больше усилило разрыв «чистой теории» и действительности и дало основания для интерпретации экономики в качестве отрасли прикладной математики.

Русские ученые-экономисты стали применять математические методы в анализе экономических проблем только в начале XX в. (П.И. Туган-Барановский, В.И. Дмитриев, И.П. Кондратьев, Е.Е. Слуцкий). В 1920-х гг. важным событием в междисциплинарном взаимодействииэкономики и математики была дискуссия о проблеме использования математических методов в экономике СССР. Развивалось макроэкономическое моделирование (В. Леонтьев, Б.Ю. Конюс, Г.А. Фельдман), Н.К. Кондратьевым была разработана теория экономических циклов. В 1930 — 1950-е гг. известность приобрели работы Л.В. Канторовича, который совершает прорыв в экономической науке, выпустив брошюру «Математические методы организации и планирования производства». На основе идей, изложенных в этой работе, впоследствии возникло линейное программирование — «наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств» [2, 11]. Сам термин был предложен в 1951 г. американским экономистом Т. Купмансом. Безусловно, применение линейного программирования в экономике имеет свои трудности; главная из них — проблема соответствия модели и реальности, ведь экономическая реальность многопланова и не всегда поддается количественному описанию.

С 1940-х гг. в исследованиях Л.В. Канторовича экономическая проблематика выходит на первый план. В 1975 г. ученый получает Нобелевскую премию за работу «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (опубликована в России в 1959 г.). В нобелевской лекции математик подробно разъясняет сущность, проблемы и перспективы взаимодействия математики и экономики на примере советской плановой системы.

С 1940-х до 1957 г. в СССР проблеме использования математики в экономике уделялось мало внимания. В 1957 г. НИЭИ Госплана СССР начинает разработку межотраслевого баланса и таким образом возрождает использование математики в экономике [3, 93]. В 1958 г. В.С. Немчинов создает лабораторию экономико-математических методов, заложив основы советской экономико-математической школы. Представителями этой школы в разное время были В.В. Новожилов, В.К. Дмитриев, А.Л. Вайнштейн, Л.Я. Берри, Э.Ф. Баранов, Э.Б. Ершов, Л.Е. Минц, М.Р. Эйдельман, А.Г. Гранберг, В.Ф. Пугачев и др. Основные достижения советских ученых в этой области заключались в разработке проблем экономического анализа, планирования и моделирования, оптимального использования ресурсов и др. В целом экономико-математические методы в советское время применялись в сфере управления экономикой, что обуславливало практическую направленность в разработке этих методов.

На Западе именно 1940-е гг. характеризуются активным внедрением математики в область экономических исследований. С 1960-х гг. этот процесс начался и в сфере управления бизнесом. В этот период нобелевские премии по экономике по большей части были связаны с именами тех, кто занимался разработкой проблем использования математического аппарата в экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Л.В. Канторович и др.).

Сегодня математика считается одним из важнейших методов анализа экономической действительности. Так, в рамках экономики хаоса и неопределенности, сформировавшейся на стыке высшей математики и физики, предсказания поведения сложных систем отступают, в силу их проблематичности, перед применением математических методов (в частности, статистического и геометрического описания системы) (см.: [3]). Но статус математических методов в экономике не является определенным раз и навсегда, поскольку экономическая наука занимает непростое положение на границе между естествознанием и социальными науками.

Экономика и математика: основания для взаимосвязи

Проблема поиска оснований для взаимосвязи экономики и математики заключается в необходимости, с одной стороны, увеличения точности процедур экономического анализа, планирования, прогнозирования и управления, а, с другой, в трудности формализации и количественного учета таких показателей, как индивидуальные предпочтения и интересы. В этом смысле предметные сферы экономики и математики не только пересекаются и частично совпадают, способствуя взаимному развитию этих дисциплин, но и могут быть противопоставлены друг другу. В таком ракурсе важным оказывается выяснение научного статуса как экономики, так и математики — являются ли они полноценными науками или же только инструментом для других наук в случае математики и способом количественного описания социальной реальности, когда речь идет об экономике?

С нашей точки зрения, математика может выступать и как язык количественного описания некоторых закономерностей и связей эмпирического мира, и как чистая наука; экономика также может использоваться в качестве инструмента для анализа широко понимаемой социальной реальности, но ее научная чистота представляет собой проблему.

Существуют объективные факторы, как усиливающие, так и проблематизирующие сотрудничество экономики и математики. Среди первых назовем: а) развитие предпринимательской среды — растет потребность в оперативных расчетах, планировании, прогнозировании в масштабах фирмы и отрасли; б) развитие информационных технологий, облегчающих — на уровне специальных программ — формализацию экономической информации и ее передачу в сжатых объемах; в) переход от экономики, основанной на материальных ресурсах, к экономике, основанной на знаниях, — отсюда возрастающий интерес научного сообщества к междисциплинарным исследованиям, внимание к инновациям и новым технологиям в науке и практике; г) все большее усложнение социально-экономических систем, что обусловливает необходимость анализировать большие объемы структурированной информации, создавать алгоритмы решения социально-экономических проблем и просчитывать последствия этих решений.

Факторы второго порядка: сам предмет экономической науки (человек и общество) и трудности формализации соответствующих явлений и процессов; кризис оснований экономической науки (ориентация на социально-гуманитарное знание вместо естествознания, переосмысление методологии, переосмысление критериев научности и самого понятия науки). Заметим, чтои среди факторов первого порядка — постольку, поскольку они касаются социальных процессов, с которыми неразрывно связаны процессы экономические — существует много проблемных ситуаций; все они требуют философского осмысления.

Актуализациипроблемы взаимодействия экономики и математики также способствует осознание методологических и предметных особенностей этих дисциплин. Основные отличительные особенности математики: 1) строгие правила выведения связей между элементами анализа; 2) система аксиом, на которые опираются математические формулы; 3) высокий уровень абстракции аналитических операций.

А.Д. Ливандовская отмечает значительную роль в математике предпосылок, на которых ученый строит свою модель (см.: [1]). В экономике вопрос о предпосылках дискутируется в рамках проблемы соответствия экономических теорий и моделей реальности.

Выдающийся советский математик и экономист Л.В. Канторович рассматривал проблему взаимосвязи экономики и математики сквозь призму возможности применения математического моделирования в экономике, сравнивая естествознание и экономику.

Таблица 1

Использование математического моделирования

Источник: составлено на основании [1; 4].

Несмотря на определенные сложности применения математического моделирования в экономике, Л.В. Канторович был убежден в фундаментальном сходстве экономики и математики; он полагал, что математика делает экономические понятия более четкими, позволяет понять количественные законы самой экономики, добиться быстрого принятия хозяйственных решений [4]. Академик Н.Н. Моисеев писал, что математика является полноценным средством познания в экономике; она «помогает уловить тенденции, предупредить о возможных бифуркациях, объяснить… как действия разнообразных индивидов рождают кооперативное поведение, как могут протекать процессы самоорганизации и возникновения стабильных структур, которые сегодня связываются с проявлением стихии, как изучать стихийный хаос» [1, 96].

Успехи формализации экономических понятий при помощи математики стали возможны благодаря прогрессу в области прикладной математики и развитию науки (в частности, информационных технологий). По мнению А.Д. Ливандовской, к чертам существенного сходства математики и экономики можно отнести следующее:

• абстрактность их объектов (так, Ливандовская пишет, что экономические отношения не имеют пространственных характеристик; на наш взгляд, это не совсем справедливо);
• необходимость учета множества разнообразных факторов в процессе управления экономикой;
• необходимость количественного описания причинно-следственной связи между явлениями в экономике, моделирования, разработки многовариантных решений;
• наличие двух типов связей между экономическими объектами — детерминированных (функциональных) и стохастических (отличающихся вероятностным характером, приблизительностью) (первый тип связи можно описать на языке математики посредством уравнений; второй тип связи представляют в виде вероятностных законов). Для математического описания больше подходят детерминированные связи, но их в экономике меньше, чем стохастических. Такая особенность обусловлена существенной неопределенностью процессов в экономике, особенно на микроуровне. Успешное применение математики здесь обеспечивают специально разработанные для решения данной проблемы теория игр, математическая статистика, стохастическое программирование и проч.

Учитывая сложность, многоуровневость экономических задач, Л.В. Канторович выступал за сочетание при их решении математических, экспертных и эконометрических методов. Он также обосновал необходимость разработки новых методологических подходов для анализа экономической проблематики в век интенсификации научно-технического прогресса. В процессе этой работы, полагал ученый, следует учитывать особенности психологии людей, впервые применяющих новые методы и ответственных за их распространение. Кроме того, математик подчеркивал непреходящее значение интуиции и целостного человеческого разума в процессе совершенствования методов моделирования в экономике (см.: [4]).

Такой подход к проблеме взаимодействия экономики и математики является актуальным и сегодня; описывая реальные трудности и перспективы математической экономики, он позволяет избежать как чрезмерной математизации экономики и тем самым ее отрыва от социально-экономической практики, так и лишения экономической науки ее своеобразия, которое заключается в сочетании методологии социальных и естественных наук.

Типы, возможности и границы математического моделирования в экономике

Моделирование — это представление процесса, явления или ситуации с помощью выделенных по определенному принципу и систематизированных характеристик рассматриваемого объекта. В процессе моделирования мы оперируем информацией об интересующем нас объекте: получаем ее, обрабатываем, систематизируем, представляем в той или иной форме (понятий и теоретических схем, графиков, таблиц, формул) и используем для предсказания поведения исходного объекта. Необходимо учитывать влияние той или иной конкретной цели моделирования на те свойства и характеристики объекта, которые отбираются для создания модели.

В экономике модель определяется как «упрощенная система, используемая для имитирования определенных аспектов реальной экономики» [5]. В экономическом знании применяется широкий спектр моделей: от простейших метафор, как «невидимая рука» у А. Смита до сложных математических моделей в современной неоклассической теории.

Модели бывают идеальные (абстрактные) и реальные (предметные); от типа модели и сферы ее применения зависит и форма моделирования — знаковое (информационное) или предметное. Предметное моделирование подразумевает воспроизведение в модели основных характеристик оригинала и используется в основном в рамках экспериментальных наук или на уровне экспериментального познания; абстрактные модели строятся в отвлечении от реального объекта, и в этом смысле являются идеальными — они используются на уровне теоретического познания. Возможно сочетание предметного и абстрактного моделирования в анализе сложных экономических процессов.

В рамках экономической науки разрабатываются как модели-аппроксимации, в основе которых лежит сходство с оригиналом, так и модели-карикатуры, акцентирующие внимание исследователя на определенных характеристиках реальности на фоне искаженной картины целого. Примером модели-аппроксимации является производственная функция Кобба — Дугласа, характеризующая распределение произведенного дохода между трудом и капиталом. В качестве модели-карикатуры может служить модель рынка с нулевыми трансакционными издержками, позволившая сформулировать теорему Р. Коуза.

Кроме того, моделирование делится на качественное (содержательное) и количественное (формальное). Итогом применения второго типа моделирования является математическая модель.

Существуют также нестандартные типы моделирования — например, вербальное (словесное) моделирование — «представление информационной модели средствами естественного разговорного языка» [6]. Этот метод обладает определенными недостатками, так как в науке использование естественного языка может послужить причиной неточности в формулировках и ошибок на практике.

Еще один интересный тип моделирования — интегративное моделирование — создание моделей на основе целостного, системного подхода к объекту или явлению (см. [7]). Перспективность данного подхода определяется общей современной тенденцией к целостному постижению научных объектов.

В экономике используются модели разных типов; например, модель экономического человека создается для описания и объяснения процессов, связанных, прежде всего с потребительским выбором, предсказанием возможного поведения потребителя в будущем; она также используется для анализа поведения других экономических агентов (фирмы, государства) и даже экономических показателей. Должна ли модель экономического человека быть предметной — т. е. отражать свойства реального объекта (индивида) или абстрактной? — об этом и сегодня спорят экономисты. Мы полагаем, что необходимо соблюдать баланс между абстрактностью и предметностью такой модели с помощью принципа удобства, согласно которому наилучшей в теоретическом плане является модель, которая более всего удобна.

 Моделирование в любой предметной области выполняет следующие функции: а) дескриптивная — модель как описание и объяснение определенных свойств оригинала и происходящих в нем процессов; б) прогностическая — дает возможность на основании изучения модели делать научные прогнозы относительно состояния и поведения оригинала; в) нормативная — отвечает за определенные рекомендации для приложения их к реальным объектам. Так, модель экономического человека в современной экономике предполагает, что поведение экономического агента — индивида — в той или иной степени рационально, эгоистично и ориентировано на максимизацию выгоды и минимизацию затрат; позволяет ожидать от поведения экономических агентов ориентации на их собственный интерес и предлагает использовать эти предпосылки в маркетинге и рекламе. Можно также отметить методологическую функцию модели — такая функция выполняется, например, когда модель экономического человека используется как инструмент анализа микро- (фирма) и макроуровня (государство) экономической реальности.

В основании экономико-математической модели лежат определенные условия: 1) наличие упрощенных исходных предпосылок с четко определенными критериями отбора абстрагируемых свойств и характеристик объекта или явления; 2) модель должна быть связана с реальным объектом, в противном случае ее познавательный потенциал резко снижается; 3) характеристики и свойства модели, выделенные на предварительном этапе моделирования, должны быть формализуемы на языке математики.

Математические модели в экономике разделяют в основном согласно следующим критериям: а) по характеру связей между экономическими объектами — детерминированные и стохастические; б) по тому, принимается ли во внимание фактор времени — статистические и динамические; в) по характеру значений переменных — дискретные, непрерывные и смешанные; г) по зависимости/независимости описываемых отношений и функций от переменных — линейные и нелинейные.

Сегодня экономико-математическое мышление применяется для решения задач в области организации бизнес-процессов (повышение эффективности производства, логистические задачи, проблемы распределения ресурсов, укрупнение предприятий). В этом направлении развития моделирования есть свои трудности, связанные с природой информации в экономике (проблема совместимости, отсутствия или ненадеждности информации, ее идеологической нагруженности) и с необходимостью учета многофакторности экономических явлений [1, 97]. Одной из существенных проблем применения экономико-математического мышления является проблема человека в экономике. А.Д. Ливандовская рассматривает эту проблему в ракурсе воздействия человека на экономические процессы, явления и объекты; это также проблема модели человека в экономике.

Применение математики в экономике следует рассматривать не как универсальный методологический прием, который можно использовать с успехом по отношению к любой экономической проблеме, а как необходимую, но не достаточную часть методологического инструментария экономики, работающего только в сочетании с другими, качественными методами. Такой вывод содержится уже в описании основных разделов математических методов анализа экономики: математической экономики, исследования операций и эконометрики. Возникнув на стыке математики и экономики, эти дисциплины, с одной стороны, помогают упростить и ускорить анализ множества переменных, необходимых для разработки практических рекомендаций, принятия решений (в том числе управленческих), построения моделей, прогнозирования экономических процессов и т.д.; с другой стороны, они подразумевают качественную интерпретацию своих формул и моделей. Можно сказать, что проблема применения математических методов в экономике является частью более масштабной, философской проблематики соотношения теоретического (рационального) и практического (эмпирического), объективного и субъективного.

Существующая в современной экономике (по преимуществу в неоклассике) тенденция к сведению содержания экономического знания к его формальной, поддающейся математизации части порождает такие проблемы, как чрезмерная специализация экономистов, игнорирование социально-гуманитарного и общекультурного содержания экономических знаний, провалы прогнозирования и объяснения экономических процессов и явлений (например, причин мирового финансового кризиса). В глобальном смысле империализм математических методов в экономике означает системный кризис последней, в особенности кризис ее методологических предпосылок.

Выводы

Итак, математика — это универсальный язык, используемый для формализации и количественного моделирования сложных процессов, явлений и объектов в естествознании и социальных науках. Она также является самостоятельной наукой и может быть использована как метод получения нового знания.

В экономику математика пришла через методологию естествознания, которая активно заимствовалась классической экономической теорией на этапе ее становления. Использование математики было и во многом остается одним из критериев научности как в естествознании, так и в экономике. В то же время, нельзя отождествлять естествознание и математику, поскольку последняя является и универсальным научным инструментарием (языком), и самостоятельной областью исследований.

Теоретическое взаимодействие экономики и математики имеет относительно недолгую историю (начиная с 1738 г. и по настоящее время — почти 280 лет). Это взаимодействие предполагает определенные предпосылки (стандарты научности, уровень абстракции, частично инструментальный характер математики и экономики) и границы (предмет экономической науки, проблемы моделирования сложных социальных систем и объектов, проблема чрезмерной абстрактности современной экономики, проблема соответствия модели и реальности).

Взаимодействие экономики и математики изменило характер отношений между фундаментальной и прикладной наукой. Развитие прикладных исследований стало определять развитие науки в целом. Примером являются результаты, полученные в рамках прикладных проектах, под руководством Г. Саймона и Д. Нэша. Решение прикладных задач способствовало развитию методологического инструментария, который стал основой новых направлений экономической теории.

Будучи сложной и многомерной проблемой, взаимодействие математики и экономики ставит перед специалистами этих наук, а также перед философией экономики, задачу переосмысления методологических предпосылок современной экономики с точки зрения включенности экономики и экономической науки в общекультурный контекст эпохи и в аспекте философского характера основной экономической проблематики.

Литература

1. Ливандовская А.Д. Экономика и математика: их взаимодействие // Вестник ТГЭУ. 2008. № 4.
2. Кутателадзе С.С. Математика и экономика Л.В. Канторовича // Сибирский математический журнал. 2012. Т. 53. № 1. Январь — февраль.
3. Кратчфилд Дж.П. и др. Хаос // Scientific American. 1987. № 2. http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Chaos.htm
4. Канторович Л.В. Математика в экономике: достижения, трудности, перспективы (лекция в Шведской Академии наук в связи с присуждением Нобелевской премии за 1975 год) // Канторович Л.В. Экономика и математика: Избранное. СПб., 2012.
5. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., 1990.
6. Информационное моделирование // URL: http://www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/inf9.html (дата обращения 14.07.2014).
7. Маршалл А. Принципы экономической науки: В 3 т. Т. III. М., 1984.

Статья опубликована в ФХ№6, 2015